[Topic Officiel] Énigme de la semaine

2^64

2^64 = 1.84467441 × 1019

si pour la case 1, il demande 1 grain, pour la case 2, 2 grains , pour la 3, 4 grains, etc. On voit que sur la case 1 il y a 2^0 (=1) grain, sur la 2, 2^1 grains (=2), sur la 3, 2^2 (=4), etc.

L'exposant de la formule est de 1 inférieur au rang de la case, donc sur la case 64 le nombre de grains est de 2^63, et en outre la somme de X^0 jusqu'à X^n se calcule par (X^(n+1)) - 1, et donc la réponse exacte est 2^64 - 1 .

Ce qui fait exactement : 18.446.744.073.709.551.615 grains. Si il faut 500 grains pour faire 20 gr, alors il en faut 25000 pour un kg; le nombre ci-dessus représente alors 737.869.800.000 T de riz; sachant qu'en 2005, année record de production mondiale, on a produit 628.000.000 de T, à ce rythme il faudrait environ 1174 ans pour produire le riz nécessaire !

En effet, sur la case 1 il y a 1 grain (2^0)
sur la case 2, il y a 2 grains (2^1), donc sur l'échiquier, il y a au total 3 grains soit (2^1)+1
Arrivé à la case "n", il y aura au total sur l'échiquier (2^n)+1 grains

Le total que vous donnez est bon= 18.446.744.073.709.551.615, mais c'est le résultat de [(2^64)+1] et non pas de [(2^64)-1] comme vous le suggérez

si vous lisez bien, je dis l'exposant pour calculer le nombre de grains d'une case est de 1 inférieur à l'ordre de cette case; en effet sur la case 1 on a l'exposant 0, sur la 2 l'exposant 1, etc. donc sur la 64 l'exposant 63;

et c'est ici que ça se corse, la somme des puissances successives de 2, de 2^0 jusqu'à 2^n se calcule par ((2^n+1)-1) : le total de la case 1 jusqu'à la case 63 est {2^64 - 1}; et le chiffre que je donne et qui n'est pas contesté, est 2^64 - 1.

Vérifions comme vous le faites : le total des cases 1 et 2 est 2^2 - 1 soit 4-1=3 ; celui des cases 1 à 3 est 2^3 -1 = 7 (1 pour la une, 2 pour la deux et 4 pour la trois ce qui donne 7 en tout) et ainsi de suite jusqu'à la 64 où le total est 2^64 - 1 .

Soit X l'avoir initial, en suivant l'énoncé

on a alors : X - X/4 - X/5 + 180 = 224

en réduisant les fractions, il vient 20X - 5X -4X = (224-180) * 20

ou 11X = 44 * 20 et donc X = 4*20 = 80.

Vérifions : 1/4 de 80 = 20; 1/5 de 80 = 16; 80 - 20 - 16 + 180 = 224

ou 44 + 180 = 224, mathématique élémentaire, n'est-ce pas ?

L'astuce, c'est de lire à haute voix:

1 (on prononce "un 1" on écrit donc en dessous :
11 (on a donc deux fois le chiffres 1, on prononce "deux 1", on écrit donc dessous
21 (on a "un 2" et "un 1", on écrit donc "un 2 et un 1" à la ligne suivante)
1211 (un 1, un 2, et deux 1)
111221 (on a trois 1, deux 2 et un 1)
312211 (un 3, un 1, deux 2, deux 2, deux 1)

Le suivant est donc 13112221

il faut réaliser dans une ficelle une sorte de poignée pour chaque cylindre d'une longueur double à peu près de celle du cylindre en attachant la poignée le plus près possible de chaque bout du cylindre ; au milieu de la poignée ainsi réalisée, attacher une autre ficelle d'une longueur quelconque, et l'attacher à un point fixe tel que suspendu le cylindre soit libre de tourner; au bas du pendule ainsi construit se trouve un triangle quasi équilatéral dont la base est constituée du cylindre en fer et se trouve à l'horizontale; laisser s'arrêter chaque cylindre, qui dans cette situation devrait tourner un peu; noter la position de chacun à l'arrêt; donner une petite impulsion pour faire légèrement tourner chaque cylindre,et noter de nouveau sa position à l'arrêt; après plusieurs essais, celui qui s'arrête toujours dans la même position est aimanté puisqu'il est en suspension dans l'air et s'oriente selon le champ magnétique de la terre; l'autre s'oriente lui de manière aléatoire; vous venez de réaliser une sorte de boussole élémentaire.

On peut aussi superposer les cylindres, en croix, sur une table, de telle façon que les deux génératrices en contact n'aient qu'un point commun. Rechercher, avec minutie, à faire de ce point, un point d'équilibre. Comme on aura la bonne idée de se mettre dans le sens O/E -en travers du champ magnétique terrestre- si le cylindre libre de rotation tend à se placer dans le sens N/S, c'est le bon.

Un barreau aimanté présente un pôle positif et un pôle négatif qui lui est opposé. Et au milieu? Rien, pas d' aimantation.

On pose donc un des deux barreaux sur une table. On prend l' autre et on approche un de ses bouts vers le milieu de celui qui est posé. S' il ne se passe rien ou que le barreau sur la table pivote ou glisse pour présenter un de ses bouts contre le bout de l' autre barreau que l' on vient d' approcher, alors le barreau sur la table est le barreau aimanté. Si le barreau que l' on tient dans la main se colle au milieu du barreau qui est posé sur la table, alors on tient en main le barreau aimanté.

8
Soit 8 personnes nommées A, B, C, D, E, F, G et H
A trinque tour à tour avec B, C, D, E, F, G et H (7 coups de verre)
B trinque avec C, D, E, F, G et H (6 coups de verre), plus avec A (déjà fait)
C trinque avec D, E, F, G et H (5 coups de verre)
D trinque avec E, F, G et H (4 coups de verre)
E trinque avec F, G et H (3 coups de verre)
F trinque avec G et H (2 coups de verre)
G trinque avec H (1 coup de verre)

D'où 7+6+5+4+3+2+1 = 28 coups de verre

C'est "arrangement" du type A n/2.
Donc, en allant vite, n(n-1) / 2 = 28
Qui amène n²-n-56 = 0 , dont l'une des racines est 8.

1ère interprétation

J'ai 8 ans et mon frère a 22 ans

Si mon âge aujourd'hui est x, il y a 6 ans mon frère avait 2x, aujourd'hui mon frère a 2x+6

Dans 5 ans j'aurai x+5, mon frère aura 2x+6+5

(x+5)+(2x+6+5)=40 d'où x=8

2ème interprétation

J'ai 12 ans et mon frère a 18 ans

Si mon âge il y a 6 ans est x, l'âge de mon frère il y a 6 ans est 2x, aujourd'hui j'ai x+6 et mon frère a 2x+6

Dans 5 ans j'aurai x+6+5, mon frère aura 2x+6+5

(x+6+5)+(2x+6+5)=40 d'où x=6

Aujourd'hui j'ai 6+6 = 12 ans et mon frère a 12+6= 18 ans

Si j'ai 8 ans et mon frère 22, j'avais donc 8-6 = 2 ans et mon frère en avait 22-6 = 16 ans, 6 ans en arrière: donc impossible que mon frère ait 2 fois mon âge (2 ans X 2 = 4 ans)

12-6 = 6 ans et 18-6 = 12 ans.
Là, on a bien le double !

Si aujourd'hui j'ai 8 ans et que mon frère, il y a 6 ans, avait le double de l'âge que j'ai aujourd'hui, mon frère, il y a 6 ans, avait donc 16 ans et aujourd'hui il en a 22 (16+6)

Réponse aujourd'hui j'ai 8 ans et mon frère à 22 ans

et dans 5 ans j'aurai 13 ans et mon frère 27 ans soit au total 40 ans

1er coup de couteau. Couper d'abord le gâteau dans son épaisseur. Vous obtenez deux galettes circulaires identiques que vous laissez l'une sur l'autre.

Puis ensuite avec les deux autres coups de couteau faites des parts égales à 1/4 chacune.